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O segundo dia do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) é marcado pela prova de Matemática e suas Tecnologias, sendo a única disciplina isolada e com o maior peso individual. Por este motivo, é a matéria com a qual os estudantes devem redobrar a atenção.  

Segundo o Guia do Estudante, os assuntos de matemática que mais caem no Enem são: grandezas proporcionais, gráficos e tabelas, aritmética, geometria plana e espacial, funções e probabilidade. 

Ainda, de acordo com levantamento do g1, entre todos os conteúdos de matemática, o mais cobrado é a grandeza diretamente e inversamente proporcional. Mas como podemos entender de forma objetiva e fácil? 

 

O que é uma grandeza diretamente proporcional?

A famosa regra de três 

Questões do Enem sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais para praticar 

 

O-que-sao-grandezas-diretamente-e-inversamente-proporcionais-e-como-sao-cobradas-no Enem-Quadro branco com desenhos geométricos e fórmulas matemáticas.

O que é uma grandeza diretamente proporcional? 

 

Em um primeiro momento, pode parecer uma matéria complicada, entretanto o seu estudo é baseado na razão e proporção, regra de três e porcentagem.  

No Enem, o conteúdo é cobrado de forma lógica para que o estudante relacione situações cotidianas que podem ser resolvidas de forma matemática. 

Outro ponto importante para a prova é entender que a grandeza está associada a tudo que pode ser medido ou contado, como o tempo e distância, que são diretamente proporcionais. 

Para abordar o tema mais predominante, é necessário compreender que a razão é uma fração, ou seja, uma divisão. Nesta razão há a possibilidade de existir uma igualdade de proporção, sendo assim, uma grandeza diretamente e inversamente proporcional.  

A diferença entre as duas grandezas é que uma dialoga em conjunto e a outra faz o contrário. Ficou complicado? Entenda melhor no exemplo a seguir: 

 

  • Um automóvel percorre 300 km com 25 litros de combustível. Caso o proprietário desse automóvel queira percorrer 120 km, quantos litros de combustível serão gastos? 

Por ser uma questão do Enem, tenha um raciocínio lógico. A primeira pergunta a se solucionar é saber quantos quilômetros o veículo percorre com 1 litro de combustível. Para isso, faça a regra de três de 300 km para 25 litros e 1 para x. A resposta será 12 km. Agora que você já sabe que o resultado, divida por 120 km, o único número que faltou no enunciado, e chegue na resposta 10 litros. 

Esta questão apresenta uma grandeza diretamente proporcional porque quanto mais o percurso aumentou, mais combustível foi utilizado. Sendo eles proporcionais. 

 

  • Pedro deseja realizar sua festa de aniversário e para isso irá comprar 30 latas de refrigerante com capacidade de 200 ml cada uma, no intuito de evitar desperdício. Caso ele opte por comprar latas de 600 ml, quantas ele deverá comprar? 

Continue com o raciocínio lógico e perceba que se cada lata suporta 200 ml, 30 latas resultam em 6000 ml, ou seja, 6 litros. Se a capacidade de líquido aumentar, Pedro deverá comprar menos que 30 latas. Em uma regra de três, se 30 latas estão para 200 ml, X litros estão para 600 ml, resultado em 10 latas. 

Perceba que a capacidade da lata aumentou três vezes e a quantidade de lata foi dividida por três. Este tipo de situação se enquadra numa grandeza inversamente proporcional, pois enquanto um multiplicou, o outro dividiu.  

 

Estas duas questões são alguns exemplos do que possivelmente poderia cair no exame. Entre elas, você notou alguma semelhança no modo de resolução? Sim, a regra de três é a forma utilizada para entender ambas as grandezas.  

 

A famosa regra de três  

 

A regra de três é um método muito usado em diversos cálculos matemáticos. Nas grandezas diretamente e inversamente proporcionais não é diferente, pois há relações de proporcionalidade e a regra de três é um meio facilitador.  

O método pode ser usado para as duas formas de grandezas, mas a atenção deverá ser redobrada em uma grandeza inversamente proporcional, pois além de multiplicar uma vez, é necessário dividir depois.  

A técnica faz parte da matemática básica, a primeira disciplina ensinada para estudantes. Caso não lembre do conteúdo inicial, não se desespere. Ainda há tempo para entender seguindo um plano de ensino 

Se preparar para provas requer organização baseada em um cronograma que deve ser flexível às suas condições. 

Em uma rotina focada no Enem, acrescente o máximo de horários com questões da prova. A solução de problemas é a melhor forma de se preparar, principalmente na área em que você tem mais dificuldade.  

Matemática é o conteúdo mais praticado por estudantes por ter diversas formas de solucionar o problema. Nesse sentido, os exercícios matemáticos auxiliam a compreensão e a interpretação das sentenças.  

 A-famosa-regra-de-tres-Caneta esferográfica sobre uma folha de caderno com anotações matemáticas.

Questões do Enem sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais para praticar 

 

1 - Um automóvel gasta 2 horas para realizar um determinado percurso. Sabendo que outro automóvel fez o mesmo percurso a uma velocidade média de 60 km/h e levou 3 horas, qual foi a velocidade do primeiro automóvel? 

  1. A) 50 km/h
  2. B) 65 km/h
  3. C) 70 km/h
  4. D) 80 km/h
  5. E) 90 km/h

 

✅ Resolução: Alternativa E. 

 

Para resolver a questão, é necessário aplicar a regra de três onde 2 horas está para 60 km/h e 3 horas está para X km/h. Multiplicando em cruzes, obtemos 180 que divide por 2x e resulta em 90. 

 

 

2 - (Enem 2019) Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa: 

  • Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;
  • O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000;
  • O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.

As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. 

Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso? 

  1. A) R$ 3100
  2. B) R$ 6000
  3. C) R$ 6200
  4. D) R$ 15.000
  5. E) R$ 15.500

 

✅ Resolução: Alternativa B. 

 

O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina. Então cada máquina ficará x/2, x/3 e x/5 porque os valores são inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. A soma dos valores das três máquinas é R$ 31.000,00. Dividindo por x/5 obtemos seis mil. 

 

3 - (IFSP) Para fazer uma viagem, levamos em consideração duas grandezas: velocidade do meio de transporte e tempo de viagem. Essas duas grandezas são: 

  1. A) Completamente proporcionais;
  2. B) Desproporcionais;
  3. C) Diretamente proporcionais;
  4. D) Subitamente proporcionais;
  5. E) Inversamente proporcionais.

 

✅ Resolução: Alternativa E. 

 

As grandezas são elementos físicos que podem ser medidos, dando características numéricas e geométricas, pode-se citar como exemplo de grandezas a temperatura, a velocidade, a distância e outros. Então em uma viagem, relaciona-se a velocidade média = distância por tempo. 

 

 

4 - Analisando as alternativas abaixo, marque aquela em que as grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional. 

  1. A) A distância percorrida por um veículo e o tempo de percurso em uma velocidade constante;
  2. B) A idade da pessoa e o seu salário mensal;
  3. C) A vazão da água de uma mangueira e o tempo que ela leva para preencher um reservatório;
  4. D) A quantidade de concreto produzido e a quantidade de cimento necessária;
  5. E) O número de acertos em uma prova e a nota obtida pelo candidato;

 

✅ Resolução: Alternativa C.  

 

Sabemos que, quanto maior a vazão da água, menor o tempo que a mangueira levará para encher o reservatório. 

 

 

5 - Em uma fábrica, há três máquinas e a produção é inversamente proporcional ao tempo de uso das máquinas em meses. Sabendo que as três possuem, respectivamente, 28, 32 e 36 meses de uso, e que, em um determinado tempo, as máquinas produziram, ao todo, 3820 peças, a quantidade de peças produzidas pela máquina mais nova é igual a: 

  1. A) 860
  2. B) 900
  3. C) 1050
  4. D) 1120
  5. E) 1440

 

✅ Resolução: Alternativa E.  

 

Sejam X, Y e Z a produção de cada uma das máquinas, temos que dividir o k/28, k/32 e k/36. A soma de X + Y + Z = 3820 ficaria k/28 + k/32 + k/36 = 3820 resultando em 40320. A máquina mais nova tem 28 meses de uso, então, basta realizar a divisão de k por 28. 

 

 

6 - (Objetiva 2015) Em determinado dia de trabalho, três auxiliares administrativos arquivaram 1324 processos ao todo. Sabendo-se que a quantidade de processos que cada auxiliar arquivou é inversamente proporcional às suas idades, que são 28, 30 e 54 anos, respectivamente, assinalar a alternativa CORRETA: 

  1. A) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 542 processos.
  2. B) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.
  3. C) O auxiliar administrativo com 54 anos arquivou 282 processos.
  4. D) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 544 processos.

 

✅ Resolução: Alternativa B.  

 

Sejam X, Y e Z a produção dos funcionários de 28, 30 e 54 anos respectivamente, então, temos que calcular: x/1/28 + y/1/30 + z/1/54 = K. Resultando em k/54. Realizando a soma x + y + z = 1324 e chegando ao resultado de 15120. Conhecendo o valor de k, agora calcularemos a produção de cada um dos funcionários sendo x = k/28 = 15120/28 = 540, y = k/30 = 15120/30 = 504 e z = k/54 = 15120/54 = 280.  

 

 

7 - Sabemos que a densidade de uma substância é calculada pela razão entre a massa e o volume. Se determinada substância possui 2 cm³ de volume, com densidade de 100 g/cm³, tendo a mesma massa, qual deve ser o volume de uma outra substância para que a sua densidade seja de 80 g/cm³? 

  1. A) 2,2 cm³
  2. B) 2,5 cm³
  3. C) 2,8 cm³
  4. D) 3,0 cm³
  5. E) 3,4 cm³

 

✅ Resolução: Alternativa B.  

 

Analisando as grandezas, sabemos que o volume é inversamente proporcional à densidade. Montando a tabela, é possível calcular o valor de x. Então, multiplicando reto, a multiplicação será de 80x = 100x2 resultando em 2,5 cm³. 

 

 

 

8 - Uma herança de R$ 2.950.000 foi dividida aos três herdeiros de forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 7. Sendo assim, o herdeiro que recebeu a maior parte herdou um total de: 

  1. A) R$ 1.950.000
  2. B) R$ 2.100.000
  3. C) R$ 1.800.000
  4. D) R$ 1.750.000
  5. E) R$ 900.000

 

✅ Resolução: Alternativa D.  

 

Sejam X, Y e Z os valores recebidos por cada um dos herdeiros, então terá que fazer x/1/2 = y/1/5 = z/1/7 = k. Você sabe que a soma x + y + z = 2.950.000 resultando em 3.500,00. Agora queremos encontrar o valor recebido pelo herdeiro que teve a maior parte, você x = k/2 sendo assim x = 3.750.000/2 = 1.750.00. 

 

 

9 - (BNB – FGV). Três grandezas, A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1. Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é: 

  1. A) 1
  2. B) 2
  3. C) 4
  4. D) 6
  5. E) 8

✅ Resolução: Alternativa E.  

 

A diretamente proporcional a B, então A/B. "A" inversamente proporcional ao quadrado de "C" (C²), sendo assim k = A.C²/B chegando ao resultado de k = 3/2. Faça as substituições e chegue em 8. 

 

 

10 - (Enem 2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos. 

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. 

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes. 

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é 

  1. A) 153.
  2. B) 460.
  3. C) 1218.
  4. D) 1380.
  5. E) 3066.

✅ Resolução: Alternativa D.  

 

Primeiro, é necessário calcular o total de períodos (n) que precisam ser jogados para que a criança obtenha os 9200 tíquetes. Como ela ganha 20 por período jogado, e cada período jogado custa 3 reais, o total gasto é de 460 x 3 = 1380 reais. 

Agora que você já praticou diversos exercícios de grandezas diretamente e inversamente proporcionais, não deixe de praticar e conheça o plano de ensino da Univali.

Não perca tempo e comece a trilhar o seu para a aprovação no Enem! 

 

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